- Objetivos Generales:

•  Caracterizar al conjunto de los números reales.

• Representar intervalos en el conjunto de los números reales

•  Simplificar expresiones en las que se involucran los números reales

 

- Objetivos Específicos:

•  Aplicar las propiedades los números reales en la solución de problemas específicos.

•  Aplicar las leyes de potencia con exponente entero en la solución de problemas.

•  Aplicar las leyes de potencia con exponente racional en la solución de problemas.

•  Simplificar expresiones en las que involucran leyes de potencia, valor absoluto, y las propiedades de los números reales.

•  Identificar los distintos intervalos en el conjunto de los números reales

 

- Números Irracionales:

 

- Historia:

 

Los números irracionales aparecen en la historia de la matemática vinculados a la geometría. Se supone que estos números fueron descubiertos por la Escuela Pitagórica (Siglo 6 A. C.). La matemática pitagórica  estaba basada en los enteros positivos y en todo lo que es expresable en términos  de operaciones entre ellos, por lo tanto a lo más se llegaba fracciones positivas. Esto se debía a que ellos concebían las figuras geométricas constituidas por una cantidad finita de puntos. El descubrimiento de magnitudes inconmensurables, puso en evidencia que tal suposición era falsa. Por lo tanto, este descubrimiento ponía en cuestionamiento todo lo construido. Por tal motivo, esto fue guardado en estricto secreto. Hasta que se pudo.

En la época de Platón (428 - 347  A. C.) se conocía la irracionalidad de .

La naturaleza irracional de Pi (π) solamente fue demostrada por Johann Heinrich Lambert en 1767 y en 1794, Adrien-Marie Legendre demostró que Pi cuadrado es irracional. En geometría los números irracionales representan magnitudes inconmensurables con la unidad.

 

 

Por ejemplo:

 

  Representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1. La  naturaleza irracional de este número significa que la diagonal y el lado de un cuadrado  no tienen una unidad de medida común.

Pi representa la longitud de una circunferencia de diámetro 1. Por lo tanto,  la longitud de una circunferencia y su diámetro  son inconmensurables.

 

Este conjunto está formado por todos los números que no se pueden expresar en la forma p/q , con p y q enteros.

En el conjunto de los números irracionales están presentes raíces de diverso orden; por ejemplo

, ,

son todos números irracionales.

 

Es muy importante recalcar el significado del enunciado “” es irracional. De acuerdo a la definición de número irracional, se tiene que no existen números enteros m y n () tales que:

O equivalentemente no existe un número racional tal que:

 

Por otro lado no necesariamente un número irracional es la raíz de otro, por ejemplo es un número entero; otros números irracionales notables son y e, cuyos valores aproximados son:

 

 Definición: Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas reciben el nombre de números irracionales. El conjunto cuyos elementos son los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números irracionales y se denota con el símbolo $I\!\!I$.

 

- Números Reales:

 

 Definición: La unión del conjunto de los Números Racionales con el conjunto de los Números Irracionales, recibe el nombre conjunto de los Números Reales y se denota con el símbolo $I\! \! R$

 

En este esquema podemos ver que el conjunto de los números enteros contiene al conjunto de los números naturales (). El conjunto de los números racionales contiene al conjunto de los números enteros   (). La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales ( $I\! \! R$ = Q $I\!\!I$).

Note que Q e $I\!\!I$ no tienen elementos en común, es decir, su intersección es vacía. Simbólicamente se escribe: Q $I\!\!I$= .

 

El conjunto de los números reales se puede representar en la recta numérica. Para ello se le asocia cada punto de la recta numérica real de la siguiente forma: se elige un punto cualquiera de la recta a cual se le asigna el cero (0) y una longitud que será la unidad de longitud. Por convención la recta es horizontal y el número 1 se representa con el punto colocado a la derecha del cero, a una unidad del cero. El número -1 se representa con el punto simétrico, correspondiente a una respecto al cero, a la izquierda del cero. A partir de esto, el resto de los números se representan a la derecha del cero si son positivos y a la izquierda de cero si son negativos, como se muestra en la figura.

 

 

 

Recordemos las propiedades del conjunto de los números reales $I\! \! R$

Para ello veremos las siguientes tablas:

 

 

Propiedades básicas para la adición en $I\! \! R$

 

La adición es conmutativa

a + b  =  b + a

La adición es asociativa

(a + b)+c  =  a + (b + c)

La adición tiene elemento neutro

a + 0  =  a

En la adición, -a es el inverso aditivo de a

a + (-a) = 0

 

 

 

 

 

Propiedades básicas para la multiplicación en $I\! \! R$

 

La multiplicación es conmutativa

ab = ba

La multiplicación es asociativa

(ab)c  =  a(bc)

El 1 es el elemento neutro multiplicativo

a ∙ 1  =  a

Si es el inverso multiplicativo de a

 

 

 

 

 

Es usual llamar al inverso aditivo de a como el opuesto de a y al inverso multiplicativo de a como el recíproco de a. Por otro lado, la adición y la multiplicación se relacionan por la ley distributiva que se da a continuación:

 

 

 

 

La multiplicación es distributiva con respecto a la adición

a(b + c) = ab + ac

(a + b)c = ac + bc

 

 

 

Ejemplo:

 

Efectúe las siguientes operaciones  4 + 3 (-a + 7) + (-1) [2 + (-a)].

 

Solución:

 

Usando la ley distributiva se tiene:

3 (-a + 7)= 3 (-a) + 3 ∙ 7 = -3a + 21

Por otro lado (-1) [2 + (-a)] = -2 + a.

Así  4 + 3 (-a + 7) + (-1) [2 + (-a)] = 4 – 3a+ 21 -2 +a.

Luego, al sumar los términos semejantes se tiene: 23 – 2a.

 

 

 

 

Ejemplo:  Efectúe las operaciones

 

                 

 

 

 

Solución:

Se efectúa primero la suma

                                           

pues el paréntesis así lo indica., luego se multiplica el resultado por . Simultáneamente, se pueden realizar la s operaciones

 

                              

Con esto se obtiene:

 

                               

 

luego se efectúa

 

                               y como  

 

 se tiene entonces que

 

                             

 

 

 

Note que como los pasos se han efectuado se puede realizar  de manera encadenada de la siguiente forma:

 

                           

                                                               

 

 

 

 

 

 

Recordemos ahora el valor absoluto de un número real. El cual representa la magnitud de un número. Esta magnitud es la distancia que existe, sobre la recta real, del número dado al cero. Así la magnitud de 8 es 8 y la magnitud de -5 es 5. Observemos en la figura siguiente:

 

 

 

Si   x es un número real, el valor absoluto de x denotado por |x|, se define como:

 

\forall{x}{\in}\mathbb{R}\; |x| = \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

 

 

 

Es decir, si el número es mayor o igual a cero, el valor absoluto es igual al mismo número. Si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto. Con esta definición se tiene que |5| = 5, ya que 5 > 0  y | -5 | = - (- 5) = 5 ya que -5 es negativo.

 

 

Ejemplo: Calcule el valor absoluto de |1.41 -|

 

 

Solución:

Note que  es mayor que 1.41 y así  1.41 -  < 0, entonces al quitar el valor absoluto se debe multiplicar por -1:

            |1.41 -|  = - (1.41 - ) = -1.41 +  

este valor representa la distancia de 1.41  a .

 

 

 

Ejemplo: Calcule el valor de

 

Solución:

Primero se debe evaluar los valores absolutos   y ,

 

al sustituir estos valores en la expresión dada se tiene:

 

 = -1 +  

 

como , se tiene que -1 +  = -1 + 6 = 5.

 

Así, el valor de la expresión  es 5

 

 

- Leyes de potencia:

Ya repasamos un poco sobre el valor absoluto en el conjunto de los números reales. Ahora repasemos las leyes de potencia y por consiguiente las leyes de potencia con exponentes racionales. Observemos las siguientes tablas:

 

 

 

 

Propiedad

Ejemplo

 

a0 = 1 si  a≠0

a-n  =  si a≠0

 

 

(ab)n = an bn

 

 

 

 

 

 

 

50 =1, ()0 = 1

2-3  =    y 

 

 

(-4)3 = (-1)3 (4)3 = -64  y  (3∙4)2 = 32 42 = 144

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: Efectúe las siguientes operaciones:

 

                

 

Solución: Usando las propiedades de las potencias, se calcula primero

 

        ,

 

 además se calcula

 

         y se efectúa ,

 

pues son las operaciones dentro del paréntesis, así

 

 

 

a demás tenemos que

 

        ,

 ya obtuvimos el resultando de lo que está dentro de los paréntesis, el paso siguiente es elevar al cuadrado,

 

 

 

 

 

 

- Radicales (exponentes racionales):

 

Si n es un entero positivo mayor que 1 y a es un número real, la raíz n-ésima de a se define para n impar como:

 

  si  bn = a

 

y para n par con a ≥ 0 como:

 

 si  b ≥ 0  y  bn = a

 

 

a se llama radicando o subradical y n es el índice. En el caso que n sea par y a negativo  no es real.

Los radicales se usan para definir potencias racionales:

 

 

 

Si es un número racional, con n

 

positivo mayor que 1, a y b números reales tales que la raíz n-ésima de ambos existen, entonces:

1.

2.

3.

4. 

5.

6.

 

 

 

 

 

 

A partir de las leyes antes vistas tanto para el exponente entero como racional, nos ayudaran a efectuar las operaciones tales como los siguientes ejemplos:

   

 

 

Ejemplo: Efectúe las siguientes operaciones y simplifique el resultado

 

                       

 

 

 

Solución: El orden de las operaciones es muy importante, primero se efectúa

 

                                ,

 

 luego

 

                               ,

 

después se calcula

 

                             ,

 

 

 con estos cálculos parciales tenemos lo siguiente:

           

                            =       

                                                                      =       

                                                                      =        

                                                                      =        

 

 

 

 

 

Ejemplo: Desarrolle las operaciones siguientes y simplifique el resultado:

 

 

                       

 

 

 

 

Solución:

 

Primero, se debe trabajar y simplificar al máximo dentro de cada paréntesis. Para resolver estas expresiones es necesario recordar el orden de prioridad: Primero las potencias, Después las multiplicaciones y divisiones, de acuerdo al orden en que están escritas; Finalmente, las adiciones y sustracciones, también según el lugar en que están.

 

  

 

                                        =      

                                                                                              =      

    

                                                                                              =       

 

                                                                                              =        

        

 

 

 

 

 

- Intervalos Reales:

 

 

Un intervalo real es el conjunto de todos los números reales x comprendidos entre dos números reales a y b, donde a < b, los cuales se llaman extremo inferior y superior, respectivamente. Los intervalos se representan en notación por compresión y en la notación de intervalo respectivamente, de la siguiente manera:

 

 

                                            i.           

                                          ii.           

                                         iii.           

                                        iv.           

 

 

 

Donde, por ejemplo, el conjunto   se lee como “los x reales tales que a es menor o igual que x y a su vez x es menor que b” Note que en este conjunto el extremo superior es b, no pertenece al conjunto, mientras que le extremo inferior si.

 

 

 

 

 

Ejemplo: Expresar por comprensión y geométrica los siguientes intervalos:

 

1.                                       2.                                            3. 

 

 

 

 

Soluciones:

1. El intervalo  por comprensión se denota  y en la forma geométrica se representa de la forma siguiente:

           

 

 

 

2. El intervalopor comprensión se denota  y en la forma geométrica se representa de la forma siguiente:

 

 

 

 

3. El intervalo    por comprensión se denota  y en la forma geométrica se representa de la forma siguiente:

 

 


 

 

 

Ejemplo: Si A =  y B =  halle A B .

 

Solución: 

 

Geométricamente la unión de ambos intervalos se representa como:

 

Donde se puede observar que todo lo pintado es la unión ]-3, 7[

 

 

 

 

Ejemplo: Si A = ]-6, 7] y B = ]6, 10]  halle A B .

 

Solución:

 

En la recta numérica se representan de la manera siguiente:

 

 

Podemos ver que la región sombreada desde 6 (sin incluir) hasta 7 (incluido) es la intersección de A y B, ]6, 7].

 

 

 “La confianza en sí

mismo es el primer

    secreto del éxito”

J. Garfield